Teknik Pemecahan Model Program Linier Dengan Metode Grafik (Minimasi)

Sebelumnya - Teknik Pemecahan Program Linier Dengan Metode Grafik (Maksimasi)

Contoh Kasus: 
Sebuah Perusahaan Properti memproduksi 2 jenis Meja Belajar, yaitu Meja Belajar Tipe A dan Meja Belajar Tipe B. Dengan Menggunakan 2 bahan dasar yang sama yaitu Kayu Jati dan Cat Pernis. Untuk Memproduksi 1 unit Meja Belajar Tipe A dibutuhkan 8 batang Kayu Jati dan 2 kaleng Cat Pernis. Sedangkan untuk memproduksi  1 unit Meja Belajar Tipe B dibutuhkan 6 batang Kayu Jati dan 1 kaleng Cat Pernis. Untuk satu periode produksi, perusahaan menggunakan paling sedikit 120 batang Kayu Jati dan 24 kaleng Cat Pernis. Biaya produksi untuk Meja Tipe A adalah Rp. 40.000/unit dan untuk Meja Tipe B adalah Rp. 25.000/unit. Untuk Meja Belajar Tipe A perusahaan harus memproduksi paling sedikit 2 buah meja dan untuk  Meja Belajar Tipe B perusahaan harus memproduksi paling sedikit 4 buah meja.
Tentukan banyaknya Meja Belajar Tipe A dan Meja Belajar Tipe B yang harus diproduksi agar biaya produksinya sedikit/minimum!.

a. Variabel Keputusan
     X1  = Banyaknya Meja Belajar Tipe A yang harus diproduksi
     X2 = Banyaknya Meja Belajar Tipe B yang harus diproduksi

b. Fungsi Tujuan
     Z = 40.000X1 + 25.000X2

c. Pembatas
     8X1 + 6X2 ≥ 120
     2X1 +   X2 ≥   24
                   X1 ≥ 2
                   X2 ≥ 4

d. Pembatas Tanda 
      X1 ≥ 0
      X2 ≥ 0 

Dengan demikian, formulasi lengkap dari Perusahaan Properti diatas adalah:
Minimumkan : Z = 40.000X1 + 25.000X2
Berdasarkan   : 8X1 + 6X2 ≥ 120
                             2X1 +   X2 ≥   24
                                           X1 ≥ 2
                                           X2 ≥ 4
                                           X1 ≥ 0
                                           X2 ≥ 0

    
Grafik:

Uji Coba Titik A, B dan C dengan  Z = 40.000X1 + 25.000X2

A = (12,4)     X2 = 4
                                                                             Z  = 40.000 (12) + 25.000(4)
                       8X1 + 6X2 = 120                            = 480.000 + 100.000
                       8X1 + 6(4) = 120                            = 580.000 
                       8X1 = 120 - 24
                         X1 = 96/8
                         X1 = 12

B = (6,12)      8X1 + 6X2 = 120 |x1|
                        2X1 +   X2 =  24  |x4|
                       
                        8X1 + 6X2 = 120
                        8X1 + 4X2 =   96
                        ____________ _

                                    2X2 = 24
                                      X2 = 12

                         2X1 + X2 = 24
                         2X1 + 12  = 24
                         2X1 = 24 - 12
                           X1 = 12/2
                           X1 = 6 

                         Z  = 40.000 (6) + 25.000(12)
                             = 240.000 + 300.000
                             = 540.000  

C = (2,20)      X1 = 2
                                                                          Z = 40.000(2) + 25.000(20)
                         2X1  + X2 = 24                         = 80.000 + 500.000
                         2(2) + X2 = 24                          = 580.000
                         X2 = 24-4
                         X2 = 20 

Jadi, agar biaya produksi minimum perusahaan sebaiknya memproduksi 6 unit Meja Belajar Tipe A dan 12 unit Meja Belajar Tipe B, dengan biaya produksi sebesar Rp.540.000

Teknik Pemecahan Model Program Linier Dengan Metode Grafik

Program Linier merupakan suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas diantara beberapa aktivitas yang bersaing, dengan cara yang terbaik yang mungkin dilakuakan.

Ada 2 cara pemecahan persoalan program linier, yaitu:

1. Metode Grafik

2. Metode  Aljabar (Simpleks)

Namun yang akan dijelaskan kali ini hanya Metode Grafik saja.

Contoh Kasus 1:

Sebuah Perusahaan Pakaian memproduksi 2 buah jenis pakaian yaitu Baju Kaos dan Baju Kemeja, dengan menggunakan dua sistem pembagian pengerjaan yaitu melalui bagian Desain dan bagian Jahit. Untuk memproduksi Baju Kaos dibutuhkan waktu 2 jam untuk pengerjaan Desain dan 1 jam untuk pengerjaan Jahit. Sedangkan untuk memproduksi Baju Kemeja dibutuhkan waktu 2 jam untuk pengerjaan Desain dan 2 jam untuk pengerjaan Jahit. Jam kerja maksimum untuk bagian Desain adalah 60 jam/minggu dan jam kerja maksimum untuk bagian Jahit adalah 80 jam/minggu. Untuk produksi Baju Kemeja dibatasi hanya 30 lusin/minggu, sedangkan untuk Baju Kaos tidak ada batasan produksi. Masing-masing keuntungan satu unit Baju Kaos dan Baju Kemeja adalah Rp.10.000 dan Rp.20.000. Tentukan jumlah Baju Kaos dan Baju Kemeja yang harus diproduksi agar memperoleh keuntungan yang maksimum.

Penyelesaian:

     a. Variabel Keputusan

Adalah variabel yang menguraikan secara lengkap keputusan-keputusan yang akan dibuat.

Misalkan:

X₁ = Banyaknya Baju Kaos yang akan diproduksi dalam seminggu

X₂ = Banyaknya Baju Kemeja yang akan diproduksi dalam seminggu

     b. Fungsi Tujuan

Merupakan fungsi dari variabel keputusan yang akan dimaksimumkan.

Untuk menyatakan nilai fungsi tujuan akan digunakan variabel Z, sehingga:

Z = 10.000X₁ + 20.000X₂

     c. Pembatas

Merupakan kendala yang dihadapi, sehingga kita tidak bisa menentukan harga-harga variabel keputusan secara sembarang.

Pada persoalan diatas, ada 3 pembatas:

Pembatas 1: Setiap minggu tidak lebih dari 60 jam kerja untuk bagian Desain

Pembatas 2: Setiap minggu tidak lebih dari 80 jam kerja untuk bagian Jahit

Pembatas 3: Tidak lebih dari 30 lusin Baju Kaos yang boleh dibuat

Selanjutnya ekspresikan pembatas-pembatas tersebut ke dalam X₁ dan X₂, sebagai berikut:

2X₁ +   X₂  ≤ 60

2X₁ + 2X₂  ≤ 80

              X₂  ≤ 30

d. Pembatas Tanda

Pemabatas yang menyatakan apakah variabel keputusan diasumsikan hanya berharga nonnegatif

X₁ ≥ 0

X₂ ≥ 0

Dengan demikian, formulasi lengkap dari persoalan Perusahaan Kain diatas adalah:

Maksimumkan :   Z = 10.000X₁ + 20.000X₂

Berdasarkan    :   2X₁ +   X₂  ≤ 60 

                            2X₁ + 2X₂  ≤ 80

                                        X₂  ≤ 30

                                        X₁  ≥ 0

        X₂  ≥ 0

Grafik:

Uji Coba Titik A, B, C, D dan E dengan Z = 10.000X₁ + 20.000X₂

A = (0,0)           Z        = 10.000X₁ + 20.000X₂

                                   = 10.000(0) + 20.000(0)

                                   = 0

B = (0,30)         Z        = 10.000X₁ + 20.000X₂

                                   = 10.000(0) + 20.000(30)

                                   = 600.000

C = (10,30)                  X₂  = 30                                  Z     = 10.000X₁ + 20.000X₂

2X₁ + 2X₂  = 80                                = 10.000(10) + 20.000(30)

2X₁ + 2(30) = 80                               = 700.000 
2X₁ = 80 - 60

  X₁ = 20/2 = 10

D = (20,20)              2X₁ + 2X₂ = 80                      Z          = 10.000X₁ + 20.000X₂

2X₁ +   X₂ = 60                                  = 10.000(20) + 20.000(20)

_____________ _                             = 600.000            
            X₂ = 20                                 

2X₁ +   X₂ = 60

2X₁ +  20  = 60

2X₁ = 60 – 20

                                  X₁ = 40/2 = 20

E = (30,0)         Z        = 10.000X₁ + 20.000X₂

                                   = 10.000(30) + 20.000(0)

                                   = 300.000

Jadi, dapat disimpulkan bahwa untuk mendapatkan keuntungan yang maksimum Perusahaan Kain tersebut sebaiknya memproduksi Baju Kaos sebanyak 10 lusin dan Baju Kemeja sebanyak 30 lusin dengan keuntungan sebesar Rp. 700.000